微积分的基础——加法求导

导数是微积分的基础,前面介绍了单个函数求导的几何意义,本篇介绍,加法求导,乘法求导,复合函数求导的几何意义。我们画出三条轴,第一条是X, 第二条是X^2,第三条是sin(X^2),所以X移动时,其余两条轴上的指针也在变。

导数是微积分的基础,前面介绍了单个函数求导的几何意义,本篇介绍,加法求导,乘法求导,复合函数求导的几何意义。

假设f(X)=sin(X).X^2, f(X)函数几何图形如下

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

随着X的变化sin(X),X^2都在变,乘积在sin(X)=1时达到最大

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

如果长度增加dsin(X),高度增加dX^2,那么整个图形增加的面积就是:

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右下角那一小块的面积实在太小,可忽略不计,整理就变成如下式子

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由此形成了函数乘积求导的通用形式

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

我们来看复合函数求导的几何原理:例如

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

我们画出三条轴,第一条是X, 第二条是X^2,第三条是sin(X^2),所以X移动时,其余两条轴上的指针也在变。

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

为了直观,设h=X^2,所以X变化dx时,X^2变化dh,sin(h)变化dsin(h)

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我们将X^2带入,就得到完整的dsin(X^2)导数

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

上述的图示直观显示了X微小变化时,各种微小量发生了什么样的 变换,最后得到:

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我们再来看加法求导的几何原理:

例如sinX+X^2图形,黄色线是叠加后的图形

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在0.5处移动微小的dx,那么叠加后的图形增加量就是它们各自增加量的叠加

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

所以加法函数的导数就是

谈:“加法” “乘法”与“复合函数”求导中美妙的几何原理

以上就是加法函数,乘法函数,复合函数求导的直观几何意义。

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