一道1964年高考数学真题,题量不大,8道题全部解答

本文和大家分享一道1964年高考数学真题。1964年高考数学试卷总共只有8道题,题量确实不大,但是8道题全部是解答题。三次方程已经从如今的初高中教材中删除了,即使偶尔碰到三次方程的题目,一般也是可以直接通过因式分解来进行求解的。我们知道一元二次方程有根与系数的关系,其实一元三次方程同样有根与系数的关系。这道题难住了很多学生,主要原因就是很多学生不知道一元三次方程根与系数的关系。

大家好!本文和大家分享一道1964年高考数学真题。1964年高考数学试卷总共只有8道题,题量确实不大,但是8道题全部是解答题。本文和大家分享的这道题是当年试卷的第5题,这是一道考查三次方程的题目,可以说难住了现在很多的学生。

1964年高考数学真题,三次方程,难住众多学生

三次方程已经从如今的初高中教材中删除了,即使偶尔碰到三次方程的题目,一般也是可以直接通过因式分解来进行求解的。所以现在的大部分学生看到这个题后,都有一种无从下手的感觉。其实,要求解这道题就要用到三次方程根与系数的关系。

我们知道一元二次方程有根与系数的关系,其实一元三次方程同样有根与系数的关系。

设α、β、γ是方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)的三个根,那么α+β+γ=-b/a,αβ+βγ+γα=c/a,且αβγ=-d/a。这就是一元三次方程根与系数的关系。

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回到题目,根据题意,由于原方程有两个相等的正实数根,所以可以设原方程的三个根分别为a、b、b,其中b>0,所以根据根与系数的关系及题意可得:a+b+b=-m,ab+ab+b^2=-3,a·b·b=-n,a^2+b^2+b^2=6,即a+2b=-m①,2ab+b^2=-3②,ab^2=-n③,a^2+2b^2=6④。

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这是一个多元方程组,所以接下来需要进行消元。

由①得a=-m-2b,将其代入②和④,整理后得到3b^2+2mb-3=0和6b^2+4mb+m^2-6=0。将前面的式子乘以2,得到6b^2+4mb-6=0,所以就有m^2-6=-6,解得m=0。那么3b^2-3=0,解得b=±1,又b>0,所以b=1,则a=-2b=-2。最后,将a、b的值代入③即可求出n的值。

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用根与系数的关系得到一个方程组后,还可以有其他的处理方法。④-②×2,可以得到a^2-4ab=12。再将①式两边平方,得到a^2+4ab+4b^2=m^2,然后将这两个式子相加,得到2a^2+4b^2=12+m^2。再结合④,可以得到12=12+m^2,从而解出m=0。后面用第一种解法的方法先求出a、b的值,最后求出n的值即可。

1964年高考数学真题,三次方程,难住众多学生

这道题难住了很多学生,主要原因就是很多学生不知道一元三次方程根与系数的关系。如果知道了根与系数的关系,列出了方程组,那么这道题也就不那么难了。你学会了吗?

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