高中数学：三角形中位线定理

模块一:中位线

1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

如图，三角形两边中点的连线DE（中位线）平行于BC，且等于BC的一半。

证明：

如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证：DE平行且等于BC/2

过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD

∴∠BAC=∠ACF

∵在△ADE和△CFE中

AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF

∴△ADE≌△CFE（ASA）

∴AD=CF DE=EF

∵D为AB中点

∴AD=BD

∵AD=CF、AD=BD

∴BD=CF

∵BD∥CF、BD=CF

∴BCFD是平行四边形

∴DF∥BC且DF=BC

∵DE=EF

∴在平行四边形DBCF中DE=BC/2

∴三角形的中位线定理成立.

3.三角形中位线的重要性质：

• 任何一个三角形都有三条中位线（如下图）
• 三条中位线组成的小三角形周长为原三角形周长的一半
• 三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一
• 三条中位线将三角形分成四个全等的小三角形
• 三角形的中位线和它相交的中线相互平分
• 任意两条中位线的夹角等于这个夹角对应的顶角大小

4.中位线的判定：（小题直接用，大题需证明）

已知DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点

5.梯形中位线

梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .梯形中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L。

L=（a+b）÷2

已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．

S梯=Lh