高中数学:一元二次方程的解与解

例题1、用直接开平方法解方程 ^2 = 8 , 得方程的根为 ()。解: ^2 - 25 = 12 , x - 5 = ±√37 ; x = 5 ± √37 。例题3、方程 x = x + 19 的解为?解:原方程可变形为 = 0 , 解得: x1 = 6 , x2 = -1 。例题6、若实数 a、b 满足 - 8 = 0 , 则 a + b 的值是多少?这是一个关于 t 的一元二次方程, = 0 , t = -2 或 t = 4;
学会选择“最优”的解法来解一元二次方程

一、形如 (x + m)^2 = n ( n ≥ 0 ) 的方程可用“直接开平方法”:

例题1、用直接开平方法解方程 (x - 3)^2 = 8 , 得方程的根为 ()。

解: x - 3 = ± 2√2; x = 3 ± 2√2 。

二、 当二次项系数为 1 ,且一次项系数为偶数时,可用“配方法”:

例题2、方程 x^2 - 10x = 12 的解为?

解: (x - 5)^2 - 25 = 12 , x - 5 = ±√37 ; x = 5 ± √37 。

三、若方程移项后一边为 0 ,另一边能分解成两个一次因式的乘积,用“因式分解法”:

例题3、方程 x(x +19) = x + 19 的解为?

解: x(x +19) - ( x + 19) = 0 , (x - 1)(x + 19 ) = 0 ;x1 = 1 ,x2 = -19 。

四、用“公式法” 来解形如 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的一元二次方程:

套用通解公式 : x = [-b ± √(b^2 - 4ac)]/ (2a)

例题4、方程 x^2 + 3x = 14 的解是?

解:a = 1 , b = 3 , c = -14 ; x = (-3 ±√65)/2

五、用“十字相乘法” 来解特殊的一元二次方程:

例题5、用十字相乘法来解方程 x^2 - 5x - 6 = 0 ;

解:原方程可变形为 (x - 6)( x + 1 ) = 0 , 解得: x1 = 6 , x2 = -1 。

六、用“换元法”来解特殊的一元二次方程:

例题6、若实数 a、b 满足 (4a + 4b)(4a + 4b - 2)- 8 = 0 , 则 a + b 的值是多少?

解:令 4a + 4b = t , 则原方程可化为 t ( t - 2 ) - 8 = 0 , 即 t^2 - 2t - 8 = 0 ,

这是一个关于 t 的一元二次方程, (t + 2)( t - 4 ) = 0 , t = -2 或 t = 4;

当 t = -2 时 ,即 4a + 4b = -2 , 解得 a + b = -1/2 ;

当 t = 4 时 ,即 4a + 4b = 4 ,解得 a + b = 1 。

综上:所以 a + b = -1/2 或 a + b = 1 。

例题7、解方程: (x^2 + 5x + 1)(x^2 + 5x + 7) = 7 。

解:

学会选择“最优”的解法来解一元二次方程

图(1)

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