如果一个数是两个整数的比值(例如，1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等)，那么它就是有理数。否则，它就是非理性的。
当你听到“理性”和“非理性”这两个词时，你可能会想到冷静、善于分析的电视剧《星际迷航》里的斯波克先生(Mr. Spock)和电视剧《识骨寻踪》里头脑冷静、情绪多变的斯波克博士(Dr. Spock)之间的区别。除非你是数学家，否则你可能不会想到整数与平方根的比值，这种东西会让我们当中的非数学家感到困惑，就像我们听到女王用克林贡语演唱的《波西米亚狂想曲》一样。
但在数学领域，词汇有时有特定的含义，与日常用法非常不同，有理数和无理数之间的区别，与推理、逻辑以及原始的情感冲动没有任何关系。
记住“比率”这个词
埃里克·D·柯拉齐克（Eric D. Kolaczyk）解释道：“在记住有理数和无理数之间的区别时，想想一个词：比率。”他是波士顿大学数学和统计系的教授，也是该大学Rafik B. Hariri计算和计算科学与工程研究所的主任。
柯拉齐克说：“如果你能把一个数写成两个整数的比率(例如，1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等)，那么我们就把它归为有理数。否则，我们就说这是无理数。”
你可以将一个整数或一个分数(整数的一部分)表示为一个比率，用一个称为分子的整数加上另一个称为分母的整数。把分母除以分子。这可以给你一个数字，比如1/4或500/10(也就是50)。
与有理数相比，无理数是相当复杂的。正如数学世界网站（Wolfram MathWorld）解释的那样，它们不能用分数来表示，当你试图把它们写成一个有小数点的数字时，这些数字就会一直持续下去，没有任何停止或重复的模式。
那么，什么样的数字会表现得如此疯狂呢？基本上，那些描述复杂事物的。也许最著名的无理数是π，希腊字母p，表示圆周长与圆直径之比。正如数学家斯蒂文·波卡特（Steven Bogart）在1999年《科学美国人》的一篇文章中解释的那样，无论圆有多大，比值总是等于圆周率。自从大约4000年前巴比伦的数学家们开始尝试计算圆周率以来，一代又一代的数学家们一直孜孜不辍，创造出了越来越长的不重复模式的小数串。2019年，谷歌研究人员埃玛·哈库拉·艾沃（Emma Hakura Iwao）成功地将圆周率扩展到31415926535897位或者31.4万亿个小数位，这比之前最高纪录高出9万亿位数。
有时，一个平方根，也就是一个数的一个因数，当它与自己相乘时，得到的是一个数，它是无理数，除非它是一个完全平方的整数，比如416的平方根。其中一个最明显的例子是√2，结果是1.414加上一个无限的非循环数字串。这个值对应于正方形对角线的长度，这是古希腊人在勾股定理中最先描述的。
为什么我们要用“理性”和“非理性”这两个词?
为什么我们称它们为理性和非理性？这似乎有点模糊。柯拉齐克说：“我们确实通常用‘理性’来表示基于理性或类似的东西。”根据《牛津英语词典》，这个词在数学中的使用似乎早在13世纪的英国文献中就出现了。如果你把‘理性’和‘比例’都追溯到它们的拉丁词根，你会发现广义上来说，这两个词根都与‘推理’有关。”
更清楚的是，理数和无理数在文明的进步中都扮演了重要的角色。马克·泽加雷利(Mark Zegarelli)是一名数学老师，写了10本《傻瓜们》系列丛书，他解释说：“虽然语言可能可以追溯到人类的起源，但数字的出现要晚得多。采猎者可能不需要太多的数字精度，只需要粗略估计和比较数量的能力。”
泽加雷利说：“他们需要像‘我们没有苹果了’这样的概念，他们不需要知道，‘我们正好有152个苹果。’”
但是，当人类开始开辟土地来创建农场、建造城市、制造和交易商品，远离他们的家园时，他们需要一个更复杂的数学。
柯拉齐克说：“假设你建了一所屋顶，其高度与从底部到最高点的距离相等。屋顶表面从顶部到外缘的延伸有多长？上升(横移)总是√2的因数。这也是一个无理数。”
洛斯阿拉莫斯国家实验室信息系统和建模组的科学家和数学家嘉莉·马诺尔（Carrie Manore）说：“在技术先进的21世纪，无理数继续发挥着关键作用。”
马诺尔表示：“π显然是第一个不合理的数字，我们需要它来确定圆的面积和周长。它对计算角度至关重要，而角度对导航、建筑、测量、工程等都至关重要。无线电频率通信依赖于包含圆周率的正弦和余弦此外，无理数在复杂的数学中扮演着关键角色，使高频股票交易、建模、预测和大多数统计分析成为可能，所有这些活动使我们的社会保持活跃。”
这样的例子不胜枚举。马诺尔谈到：“事实上，在现代社会，我们几乎可以反过来问，无理数在哪里没有被使用？”