初中竞赛题数学「华罗庚竞赛题100题」

华罗庚杯数学竞赛题: 如果a,b,c均>0,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170。那么abc的值是多少?解:a,b,c均为正数, abc>0.根据题意,此题不需要求出a、...

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1道华罗庚杯香港初中数学竞赛题,看似简单,得满分同学不足5%

本文不说香港的高等教育,我们来看一道“华罗庚杯”香港初中数学竞赛题。这是一道解方程的题目,不少同学看见后的第一感觉就是题目很简单,但是让他们实际做过后,能够得到满分的同学却不足5%。为什么一道看似简单的题目,得到满分的同学却并不多呢?

下面我们一起来看看这道香港初中数学竞赛题,题目见下图。

1道华罗庚杯香港初中数学竞赛题,看似简单,得满分同学不足5%

看到这个方程,不少同学表示,这题简单,一个数的0次幂就等于1,所以只需要指数为0,即x=-5。这样做很明显是有问题的,因为一个数的0次幂等于1是有一个前提条件,那就是这个数本身不能等于0。当然,本题中,当x=-5时,底数确实不为0。所以,x=-5确实是该方程的一个解,不过该方程还有其他解。

下面我们一起来解一下这个方程。

第一种情况:

一个底数不为0的数的0次幂等于1,所以此时有3x+2≠0且x+5=0,解得x=-5。

此题相对来说比较厚道,没有挖坑。但是在做题的时候一定要注意这种情况下底数不等于0的前提条件,否则就可能出现增根。比如(x+3)的(x^2-2x-3)次幂。

1道华罗庚杯香港初中数学竞赛题,看似简单,得满分同学不足5%

第二种情况:

1的任意实数次幂的值都等于1,所以只需要底数为1,那么这个式子的值也就等于1。即3x+2=1,解得x=-1/3。

这种情况也还是比较容易想到,而且不容易出错,只要大家细心一点就可以得到答案。

1道华罗庚杯香港初中数学竞赛题,看似简单,得满分同学不足5%

第三种情况:

前面已经想到了1的任意实数次幂都为1,那么如果底数为-1的时候是否也能使其多少次幂的值也为1呢?答案是肯定的,那就是-1的偶数次方的值也为1。

当方程左边底数为-1时,即3x+2=-1,解得x=-1。此时指数x+5=-1+5=4为偶数,满足条件。所以我们就可以得到第三种情况下的解:x=-1。

1道华罗庚杯香港初中数学竞赛题,看似简单,得满分同学不足5%

这道竞赛题的难度其实不算太大,题目中的坑也不多,关键考查的就是考虑问题的全面性。比如不少同学都只求出了第一种情况下的解,而忽略了第二三种情况下的解,导致答案不完全,从而被扣了分数。下面是这道题的完整解题过程,供大家参考。

1道华罗庚杯香港初中数学竞赛题,看似简单,得满分同学不足5%

这道题就和大家分享到这里,你有什么好题也可以在这里和大家一起分享和交流。

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