巧用两点间距离公式求最值
在平面直角坐标系中,任意两点A(x1,y1)B(x2,y2)的距离是AB=√(x1-x2)2+(y1-y2)2,也可以写成AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
,原理很简单,以AB为斜边,构造直角三角形,使其两直角边分别与坐标轴平行,利用勾股定理可得。
在学习过程中,不仅仅知道点坐标求距离,同时更需要将某个平方和看作两点间的距离,这种逆向思维往往就是解决难题的突破口。
题目
如图,点A、B、C均在坐标轴上,OA=OB=OC=1,过点A、O、C作圆D,点E是圆D上任意一点,连接CE、BE,则CE2+BE2的最大值是_____________
解析:
学生思考方向一:连接AB、AC,得到一个等腰直角三角形,发现AC是直径,又连接AE,得到Rt△ACE,于是将CE2转化成AE2+AC2,其中AC2=2,因此得CE2=AE2+2,然而BE与CE的关联未建立,至此陷入困境;
学生思考方向二:连接OE,过点E向y轴作垂线,然后,就没有然后了;
学生思考方向三:过点E向x轴作垂线EF,构造双勾股模型,然而BF2+CF2如何变化不得而知,思路卒。
以上三种思考方向或者更多类似的方向,无一不是仅从几何角度思考问题,但为什么在题目第一句描述中,要提到坐标系呢?这是否有什么暗示?
带着这样的疑问,我们可以尝试用点坐标来解决问题,既然点E是圆D上的动点,不妨设E(m,n),这样我们可以利用两点间距离公式来表示CE2和BE2,推导如下:
CE2+BE2
=(m-1)2+n2+(m+1)2+n2
=2m2+2+2n2
=2(m2+n2)+2
观察上式,括号中的m2+n2何时最大呢?
此时需要逆向思维,这个式子在图中是指哪条线段长?
为方便学生找到突破口,可将这个式子再次改写成(m-0)2+(n-0)2,至少可看出是点E到原点的距离,即OE2=m2+n2;
因此CE2+BE2=2OE2+2,现在的任务是判断OE什么时候最长?
回到图中的圆D,OE是它的一条弦,根据圆内最长的弦是直径,只有当OE经过圆心时,它最长,如下图:
图中的E'即所求位置,只要求出OE'的长度即可。
显然图中∠OCE'=90°,理由是直径所对的圆周角是直角,连接AC后,可证明它就是直径,所以可求出直径为√2,最后得到OE2=2,至此问题解决,CE2+BE2最大值是6.
解题反思:
从学生实际遇到的困难来看,数形结合仍然不够熟练,或者说压根没有这个念头,这意味着在读题时,“点A、B、C均在坐标轴上”没理解。平时养成多问为什么的习惯,如果能问自己,为什么要所问题放在坐标系中,或许能更快找到思路。
最值问题的解决有很多条路可走,在给学生讲一类问题的时候,需要注意分析其本质属性,而不是表面属性。前者是为什么要用某种方法,后者就是看到关键词(图)就用某方法,教学时需要授人以渔而不是授人以鱼。
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