關於第一宇宙速度的推導：
預備知識：
機械能守恆定律：封閉系統內機械能不變，機械能為動能與勢能之和。
動能：mv2/2
引力勢能：-Gm?m?/r
向心力大小：F=mv2/r
萬有引力大小：F=Gm?m?/r2
現假設一飛船以v?的速度自地球表面發射，後於高度為h除繞地以v的速度飛行，設飛船質量為m，地球質量為M，地球半徑為R，則飛船初動能為：
mv?2/2
末動能為：
mv2/2
系統初引力勢能為：
-GMm/R
末引力勢能為：
-GMm/(R+h)
故由機械能守恆定律，得
E=(mv?2/2)-(GMm/R)
=(mv2/2)-(GMm/(R+h))
化簡上式，兩邊同乘2/m
v?2-(2GM/R)=v2-(2GM/(R+h))
移項
v?2=v2+(2GM/R)-(2GM/(R+h))
化簡分式
v?2=v2+(2GMR+2GMh)/R(R+h)
-2GMR/R(R+h)
v?2=v2+2GMh/R(R+h) (1)
又因飛船欲繞地球做圓周運動，故其應保持的向心力為：
F=mv2/(R+h)
而其向心力均由萬有引力提供，則
mv2/(R+h)=GMm/(R+h)2
化簡上式，兩側同乘(R+h)/m得
v2=GM/(R+h) (2)
代(2)入(1)得
v?2=GM/(R+h)+2GMh/R(R+h)
化簡，得
v?2=(RGM+2GMh)/R(R+h)
提取公因式，得
v?2=(GM/R2)(R+2h)R/(R+h)
注意GM/R2=g，且高度h與地球半徑R比起微不足道，故R+2h，R+h，都可以看做為R，故
v?2=GM/R=Rg
即
v?=(Rg)?
代入數據R≈6.37*10?，g≈9.8得
v?≈7900(m/s)
關於第二宇宙速度的推導
這次設一飛船以v?的速度飛出地球而最後飛離擺脫地球引力場控制，那麼我們照舊可以用(1)式這個結論，得：
v?2=v2+2GMh/R(R+h)
實質上就是把v?改成v?，而其v,G,M,R,h意義不變，我們設飛船飛到最後速度為零，即在他飛行到最遠距離時，得v?2=2GMh/R(R+h)
其中h指飛船飛行最遠距離，而想要讓飛船擺脫地球引力場，就要讓其最遠飛到無限遠的地方，也就是h=∞，那麽R+h就約等於h，即
v?2=2GMh/Rh
v?2=2GM/R
故
v?=(2GM/R)?
或是說
v?=2?v?
代入數據，得
v?≈11200（m/s)
这樣一來我們就算出第一宇宙速度和第二宇宙速度了