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在公务员考试的数量关系题目中,有一种看似特别难的问题——多集合容斥问题,什么是多集合容斥问题呢?当问题中出现“至少……都……”或者“都……至少……”这样的字眼时,那么它就是一个多集合容斥问题,很多同学看到这种题目就懵了,感觉无从下手,但只要掌握了方法,这种题就会变得特别简单,解决这种问题的方法叫:反向、加和、做差。这种方式怎么用呢,举例子如下:

现在某小组有5个人,其中4个人喜好读诗,4个人喜好画画,4个人喜好发呆,问这个小组至少有多少人以上三个活动都喜欢?

题目中出现了“至少……都……”这样的字眼,这是一个多集合容斥问题,那么使用反向、加和、做差这种方法。

第一步反向,因为题目正面不好解,那么我们从反面来考虑,问“至少……都……”,那咱们来看看至多多少人不都喜欢这三个活动的,一共只有5个人,其中4个人喜好读诗,4个人喜好画画,4个人喜好发呆,那么我们可以推出这5个人中,1个不喜欢读诗,1个不喜欢画画,1个不喜欢发呆,要让都喜好的人数最少,那不喜欢的人数应尽肯能的多,怎么做不喜欢的人数最多呢?就是让不喜欢的人都不重复,也就是说1个不喜欢读诗的人,1个不喜欢画画的人,1个不喜欢发呆的人,这三者不能是同一个人,而且是不同的三个人,这样才能让“至少……都喜欢……”的人数最少。

第二步加和,因为1个不喜欢读诗的人,1个不喜欢画画的人,1个不喜欢发呆的人,是不同的三个人,那把他们加起来,则不都喜欢这三个活动的有3个人。

第三步做差,用总的人数减去不都喜欢的人数等于都喜好的人数,5-3=2,那么最少有2个人以上三个活动都喜欢。

接下来看两道具体的例题。

【例1】某社团共有46人,其中35人爱好戏剧,30人爱好体育,38人爱好写作,40人爱好收藏,问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?( )

A.5 B.6

C.7 D.8

【答案】A。

【解析】问题中出现了“至少……都……”的字样,这是个多集合容斥问题,那么使用反向、加和、做差的方法。第一步反向,某社团共有46人,其中35人爱好戏剧,30人爱好体育,38人爱好写作,40人爱好收藏,那么可以推出这46人,其中11人不爱好戏剧,16人不爱好体育,8人不爱好写作,6人不爱好收藏;第二步加和,把不爱好的人数加起来,11+16+8+6=41;第三步做差用46-41=5,所以选择A项。

【例2】某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试,第一次得90分以上的学生为70%,第二次是75%,第三次是85%,第四次是90%,请问在四次考试中都是90分以上的学生至少是多少?( )

A.40% B.30%

C.20% D.10%

【答案】C。

【解析】问题中出现了“都……至少……”,这是个多集合容斥问题,那么使用反向、加和、做差的方法。第一步反向,第一次得90分以上的学生为70%,第二次是75%,第三次是85%,第四次是90%,那么可以推出第一次没得90分以上的学生为30%,第二次是25%,第三次是15%,第四次是10%;第二步加和,把没得90分以上的都加起来,30%+25%+15%+10%=80%;第三步做差,1-80%=20%,所以答案选择C项。

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