对数函数性质「ln与log的区别」

你好。 ln与lg的区别就是ln10×lgx=lnx。 log是对数符号,右边写真数和底数,(上面是真数,下面是底数)。 底数为10时简写lg, log10= lg。 底数为e时简写为ln, lo...

本文主要内容:讨论底a1与0<a<1两种情况下函数的交点个数问题。

 

一、实例分析

(一)判断函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数

对于函数y=3^x,其定义域为全体实数,值域为(0,+∞)。由于底数a=3,a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。

对于函数y=log3(x),其定义域为(0,+∞),值域为全体实数。由于底数a=3,a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。二者在同一坐标系的图像如下图:

同底的指数函数与对数函数的交点问题

由于函数y=log3(x)和函数y=3^x互为反函数,即关于直线y=x对称。从图像容易知道y=3^x和y=x没有交点,所以根据对称性质,y=log3(x)与对称轴y=x也没有交点,即此时函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数为0.

此时思考:在a1的情况下,y=a^x和y=x之间是永远相离,还是可以相切,或是相交?

(二)判断函数y=(1/3)^x与函数y=log(1/3)(x)的交点个数

对于函数y=(1/3)^x,其定义域为全体实数,值域为(0,+∞)。由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。

对于函数y=log(1/3)(x),其定义域为(0,+∞),值域为全体实数。由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。二者在同一坐标系的图像如下图:

 

同底的指数函数与对数函数的交点问题

由于函数y=log(1/3)(x)和函数y=(1/3)^x互为反函数,即关于直线y=x对称。从图像容易知道y=(1/3)^x和y=x有一个交点,所以根据对称性质,y=log(1/3)(x)与对称轴y=x同时交于此交点,即此时函数y=(1/3)^x与函数y=log(1/3)(x)的交点个数为1.

此时思考:在0<a<1的情况下,本例出现的交点是1个,但不是切点,是否还存在只有1个交点且是切点等其他情况。

二、结论归纳

(一)函数y=a^x与函数y=loga(x)(a1)的交点个数

对于函数y=a^x,其定义域为全体实数,值域为(0,+∞)。由于底数a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。

对于函数y=loga(x),其定义域为(0,+∞),值域为全体实数。由于底数a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。

下面讨论二者相切的情形。

函数y=loga(x)和函数y=a^x相切,则必定切点在对称轴y=x上,即y=x是此时二者的切线,故切线的斜率k=1,亦即在切点处的导数y'=1.

对y=a^x求导,得到y'=a^x*lna=1,

即:a^x=1/lna=lne/lna=loga(e)①.

由于切点在y=x上,则与y=a^x联立方程有:

a^x=x②

方程①代入方程②得到:

a^x=x=loga(e)③

即:

a^[loga(e)]=x=logae

e=logae

则a=e^(1/e),回代入③,得:

x=log[e^(1/e)](e)

x=lne/ln[e^(1/e)],使用换底公式得到。

x=1/(1/e)=e.

即函数y=loga(x)和函数y=a^x,当a=e^(1/e)时,二者相切,切点为(e,e),此时图像大致如下:

 

同底的指数函数与对数函数的交点问题

根据以上情况,则对a与a=e^(1/e)的大小讨论如下:

(1)当1<a<e^(1/e)的时候,函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相交关系,即有两个交点。

(2)当a=e^(1/e)的时候,函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相切关系,即有一个交点。

(3)当ae^(1/e)的时候,函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相离关系,即此时没有交点。本题所列判断函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数的例子,属于此情况。

(二)函数y=a^x与函数y=loga(x)(0<a<1)的交点个数

对于函数y=a^x,其定义域为全体实数,值域为(0,+∞)。由于底数0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。

对于函数y=loga(x),其定义域为(0,+∞),值域为全体实数。由于底数0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。

下面讨论二者相切的情形。

函数y=loga(x)和函数y=a^x相切,则必定切点在对称轴y=x上,即y=x是此时二者切线的法线,故切线的斜率k=-1,亦即在切点处的导数y'=-1.

对y=a^x求导,得到y'=a^x*lna=-1,即:

a^x=-1/lna=-lne/lna=-loga(e)①.

由于切点在y=x上,则与y=a^x联立方程有:

a^x=x②

方程①代入方程②得到:

a^x=x=-loga(e)③

即:

a^[-loga(e)]=x=-loga(e)

a^[loga(1/e)]=loga(1/e)

1/e=loga(1/e)

得:a=(1/e)^e,进一步代入③,得:

x= -log[(1/e)^e](e)

x=-lne/ln[(1/e)^e]

x=-1/[eln(1/e)]

x=-1/[e*(-lne)]

x=-1/(-e)

x=1/e

即函数y=loga(x)和函数y=a^x,当a=(1/e)^e时,二者相切,切点为(1/e,1/e),此时图像大致如下:

 

同底的指数函数与对数函数的交点问题

根据以上情况,则对a与a=(1/e)^e的大小讨论如下:

(1)当0<a<(1/e)^e的时候,函数y=loga(x)和函数y=a^x二者在y=x两边各有1个交点,此时共有2个交点。

(2)当(1/e)^e<a<1的时候,函数y=loga(x)和函数y=a^x相交或相切,此时有1个交点。上述相切,以及前面列举的实例,均属于此种情况。

三、细节说明

(一)对于a的取值,在a1的时候,y=a^x和y=loga(x)随着a的增大而不断远离y=x。

(二)函数y=a^x和y=loga(x)有交点时,当只有一个交点,既可以是一般的交点,也可以是切点。

(三)函数y=a^x和y=loga(x)若有切点,则必定在直线y=x上,因为切点有且只有一个,若不在y=x上,则根据对称必定有两个,即出现矛盾。

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