本文主要内容：讨论底a1与0<a<1两种情况下函数的交点个数问题。
一、实例分析
（一）判断函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数
对于函数y=3^x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。由于底数a=3,a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。
对于函数y=log3(x),其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。由于底数a=3,a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。二者在同一坐标系的图像如下图：
由于函数y=log3(x)和函数y=3^x互为反函数，即关于直线y=x对称。从图像容易知道y=3^x和y=x没有交点，所以根据对称性质，y=log3(x)与对称轴y=x也没有交点，即此时函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数为0.
此时思考：在a1的情况下，y=a^x和y=x之间是永远相离，还是可以相切，或是相交？
（二）判断函数y=（1/3)^x与函数y=log(1/3)(x)的交点个数
对于函数y=(1/3)^x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。
对于函数y=log(1/3)(x),其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。二者在同一坐标系的图像如下图：
由于函数y=log(1/3)(x)和函数y=(1/3)^x互为反函数，即关于直线y=x对称。从图像容易知道y=(1/3)^x和y=x有一个交点，所以根据对称性质，y=log(1/3)(x)与对称轴y=x同时交于此交点，即此时函数y=(1/3)^x与函数y=log(1/3)(x)的交点个数为1.
此时思考：在0<a<1的情况下，本例出现的交点是1个，但不是切点，是否还存在只有1个交点且是切点等其他情况。
二、结论归纳
（一）函数y=a^x与函数y=loga(x)(a1)的交点个数
对于函数y=a^x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。由于底数a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。
对于函数y=loga(x),其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。由于底数a1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。
下面讨论二者相切的情形。
函数y=loga(x)和函数y=a^x相切，则必定切点在对称轴y=x上，即y=x是此时二者的切线，故切线的斜率k=1，亦即在切点处的导数y＇=1.
对y=a^x求导，得到y＇=a^x*lna=1,
即：a^x=1/lna=lne/lna=loga(e)①.
由于切点在y=x上，则与y=a^x联立方程有：
a^x=x②
方程①代入方程②得到：
a^x=x=loga(e)③
即：
a^[loga(e)]=x=logae
e=logae
则a=e^(1/e),回代入③，得：
x=log[e^(1/e)](e)
x=lne/ln[e^(1/e)],使用换底公式得到。
x=1/(1/e)=e.
即函数y=loga(x)和函数y=a^x，当a=e^(1/e)时，二者相切，切点为（e，e），此时图像大致如下：
根据以上情况，则对a与a=e^(1/e)的大小讨论如下：
（1）当1<a<e^(1/e)的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相交关系，即有两个交点。
（2）当a=e^(1/e)的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相切关系，即有一个交点。
（3）当ae^(1/e)的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者是相离关系，即此时没有交点。本题所列判断函数y=3^x与函数y=log3(x)的交点个数的例子，属于此情况。
（二）函数y=a^x与函数y=loga(x)(0<a<1)的交点个数
对于函数y=a^x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。由于底数0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。
对于函数y=loga(x),其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。由于底数0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。
下面讨论二者相切的情形。
函数y=loga(x)和函数y=a^x相切，则必定切点在对称轴y=x上，即y=x是此时二者切线的法线，故切线的斜率k=-1，亦即在切点处的导数y＇=-1.
对y=a^x求导，得到y＇=a^x*lna=-1,即：
a^x=-1/lna=-lne/lna=-loga(e)①.
由于切点在y=x上，则与y=a^x联立方程有：
a^x=x②
方程①代入方程②得到：
a^x=x=-loga(e)③
即：
a^[-loga(e)]=x=-loga(e)
a^[loga(1/e)]=loga(1/e)
1/e=loga(1/e)
得：a=(1/e)^e,进一步代入③，得：
x= -log[(1/e)^e](e)
x=-lne/ln[(1/e)^e]
x=-1/[eln(1/e)]
x=-1/[e*(-lne)]
x=-1/(-e)
x=1/e
即函数y=loga(x)和函数y=a^x，当a=(1/e)^e时，二者相切，切点为（1/e，1/e），此时图像大致如下：
根据以上情况，则对a与a=(1/e)^e的大小讨论如下：
（1）当0<a<(1/e)^e的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x二者在y=x两边各有1个交点，此时共有2个交点。
（2）当(1/e)^e<a<1的时候，函数y=loga(x)和函数y=a^x相交或相切，此时有1个交点。上述相切，以及前面列举的实例，均属于此种情况。
三、细节说明
（一）对于a的取值，在a1的时候，y=a^x和y=loga(x)随着a的增大而不断远离y=x。
（二）函数y=a^x和y=loga(x)有交点时，当只有一个交点，既可以是一般的交点，也可以是切点。
（三）函数y=a^x和y=loga(x)若有切点，则必定在直线y=x上，因为切点有且只有一个，若不在y=x上，则根据对称必定有两个，即出现矛盾。