双曲线上的点与两个焦点F1、F2构成了焦点三角形。
例1、过双曲线
(a0,b0)的焦点F1的弦AB长为m,另一焦点为F2,则△ABF2的周长为
A.4a
B.4a+2m
C.
D.
分析:根据双曲线的定义,在双曲线的焦点三角形中,,=2a,这是焦点三角形中的一个很重要的结论,从而求出△的周长。
解:根据双曲线的定义,设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,则,,所以。因此,△ABF2的周长为4a+2m,故选B。
例2、设椭圆
和双曲线
的公共焦点为F1、F2,P为两曲线的一个交点,则cos∠F1PF2的值等于
A.
B.
C.
D.
分析:充分应用椭圆、双曲线的定义,求出焦半径,在双曲线的焦点三角形中,利用余弦定理,从而求出cos∠F1PF2的值。
解:由题意,不妨设点P在双曲线的右支上,则在椭圆中,,在双曲线中,,所以,。又,故在焦点三角形中,cos∠,因此,选B。
例3、是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足
=32,则∠=____________。
解:不妨假设点P在双曲线的右支上,则,所以
在焦点三角形中,cos∠
,故∠=90°。
例4、已知双曲线
的两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是_________。
解:不妨假设点P在双曲线的右支上,则
由题意知
即,所以,因此,。
例5、过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦PQ,点是另一个焦点,若=,则双曲线的离心率等于_________。
解:设、分别是双曲线的左、右焦点,由题意知在焦点三角形中,,,又,故有。
例6、若已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线的左支上求一点P,使是P到l的距离d与的等比中项?若能,请求出P点的坐标;若不能,请说明理由。
解:由题意,,即,又,所以。
根据双曲线的定义知,,因此,。
故
,这与点P、、构成焦点三角形矛盾,所以双曲线的左支上不存在点P,使是P到l的距离d与的等比中项。
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