圆周角定理「圆周角定理的三个推论」

解答一道数学题,往往有好多种方法,其中有简单明了的,也有转弯抹角的.如果我们能将所学的数学知识融会贯通,就能在短时间里打开思路,找到较为简洁的方法,这一点在时间宝贵的考试中尤为重要.比如一道数学题,试题表面没有涉及圆的知识,但如果我们能想到用圆的知识解答,往往就会柳暗花明,事半功倍,这就是我们说的“用圆求解,另辟蹊径”.

在近几年中考试卷中,常出现这样一类题目,从表面上看是一个三角形或四边形问题,用三角形或四边形的知识来解决非常困难,甚至根本无法解决,但我们可以从已知条件中发现蛛丝马迹,也就是发现图形中的隐含特征,从而通过构造辅助圆,借助圆的知识来解决问题.

t圆周角定理的推论可知：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，所对弧是半圆。由此依据可得两个构造辅助圆的基本模型：

模型1：如图1，平面内两点A、B和一动点C，若∠ACB＝90°,则点C在以AB为直径的圆上。

模型2：如图2，平面内两点A、B和一动点C，若∠ACB＝α,则点C在以AB为弦，α为圆周角，直径为AB/sinα的圆上。

例1.（2018?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为______．

【分析】由模型1可以确定点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．

【解答】∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，

∵∠PAB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，

在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴利用勾股定理可求得OC=5，

∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2．

【名师点拨】 本题给我们的启发是:已知条件中有直角三角形,我们可以想到以这个直角三角形的斜边为直径画出它的外接圆,这个外接圆就成了“辅助线”,然后就可以用圆的有关知识解题,这样可以起到事半功倍之奇效.这个方法还可在解答其他几何问题中推而广之.

例2.　如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）个．

tA．6 B．7 C．8 D．9

【分析】过点A作AB的垂线，交x轴于点C₁，交y轴于点C₂；过点B作AB的垂线，交x轴于点C₃，交y轴于点C₄；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与y轴相切，可得出圆与y轴有1个交点，与x轴交于2点．所以满足条件的点共有7个．

【解答】分三种情况考虑：

①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C₁，交y轴于点C₂，此时满足题意的点为C₁，C₂；

②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C₃，交y轴于点C₄，此时满足题意的点为C₃，C₄；

③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C₅，C₆，C₇．

综上，所有满足题意的C有7个．

故选：B．

【点评】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．

例3（2018春?梁溪区期中）如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为2，则线段DH长度的最小值为（ ）

【分析】延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD＝∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF＝DM＝AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．

【解答】延长AG交CD于M，如图1

∵ABCD是正方形

∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠BDC

∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DG＝DG

∴△ADG≌△DGC

∴∠DAM＝∠DCF且AD＝CD，∠ADC＝∠ADC

∴△ADM≌△CDF

∴FD＝DM且AE＝DF

∴AE＝DM且AB＝AD，∠ADM＝∠BAD＝90°

∴△ABE≌△ADM

∴∠DAM＝∠ABE

∵∠DAM+∠BAM＝90°

∴∠BAM+∠ABE＝90°，即∠AHB＝90°

∴点H是以AB为直径的圆上一点．

如图2，取AB中点O，连接OD，OH,

例4（2018?无锡模拟）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为⊙O上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，点P从B运动到C时，则点D运动的路径长为______-

【分析】点P在动，线段AP、CP、CD都在动，而且长度也在变，但我们不难证明，无论点P怎么运动，∠APC所对弧不变，弧长为圆周长的四分之一，则∠APC大小保持45°不变，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据题意∠ADC＝135°，结合模型2，线段AC的张角始终保持不变为135°，为可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的弧AC，依据△ACQ中，AQ＝4，即可求得到点D运动的路径．

【解答】：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，

∵⊙O的直径为AB，C为弧AB的中点，

∴∠APC＝45°，

又∵CD⊥CP，

∴∠DCP＝90°，

∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，

∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的弧AC，

又∵AB＝8，C为弧AB的中点，

【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确作出辅助线是解题的关键．

辅助圆在解题时堪称雪中送炭的楷模，有时难想，有时也不难想．当看到明显的四点共圆之类的条件，辅助圆必不可少．而不明显的，观察是否有同一线段的张角相等，然后将此线段看做直径或弦构造辅助圆，通过辅助圆来将角的关系和边的关系转化．

总而言之，辅助圆是一个很好的工具，它不仅帮助我们开拓了解题的思路，在锻炼数学逻辑能力上也起到了很好的辅助作用．若需要这方面针对性练习题，可私信留言。

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