?这种问题差不多在问:龙是爬行动物、鱼类、两栖动物、鸟类、还是哺乳动物?
你是不是答不清楚?
因为要回答龙是什么纲的动物,相当于默认了龙是脊椎动物。然而龙压根不是动物。龙只是古人为天气变化等自然现象所臆想出的符号。它由一堆不同纲的动物直观特征杂糅构成。是古人对动物定义尚不明确的背景下的产物。
同理:
你问0.9999…8是有理数还是无理数,相当于默认了它是实数。但它压根不是实数。
0.9999…8只不过是你根据“实数写成十进制小数后具有的一些直观特征”杂糅出的符号。是你对实数定义尚不明确的情况下将错就错的产物。
或许这个问题的源头,在于高中对实数的定义有漏洞。这个漏洞就是:
实数(即数轴上的点对应的数)都可写成十进制小数的形式,但并非任何一个十进制小数都可对应到实数(数轴上的点)。
也就是说,你创造的0.9999…8不是实数,换句话说,就是在数轴上找不到!
下面将大致讲解实数、有理数、无理数、各种小数的严格定义,以说明题主的“0.99…8”为什么既不是有理数也不是无理数。
有理数的来龙去脉
数学上规定,数轴上点对应的数是实数。
或许你觉得这简直像一句废话,其实这句话水很深。
我们必须完整地思考数的发展史。
首先,我们自然而然地有自然数(当然,自然数要严格定义也水很深,这边就略过,感兴趣的可以搜索“皮亚诺公理”)。
假想你是一个摘果子的原始人,你发现果子有1个、2个、3个…
为了方便,你把这样的数统称自然数。
有一天,你只摘到一个苹果,家里却有5口人,你就要把这1个苹果平均分成5份。
后来就出现了一帮死磕数的人叫数学家。数学家自然而然地找了一条直线,在线段上任取一段可测量的距离,规定为1个苹果的单位距离。试着把这段距离平均分为5份。
然后发现可以任意把这段单位苹果距离分为任意份。
然后就发现这个这个距离可以无限缩小(你会感觉它可以一直分下去,对,数学上称这种属性为“稠密性”)
这根线就是数轴。它把抽象的数用直观的方式表达了出来。
无理数的来龙去脉
历史上出现过一个叫毕达哥拉斯的老师,认为所有的数都可写成整数或分数。这就是当时的数的系统(了解古希腊哲学史的,会知道这种对纯粹感的追求和当时的哲学思想是完全相通的)
他还发现了著名的勾股定理。然而他一个作死的学生,西佰斯,问边长为1的正方形,其对角线的长是多少。(如何证明根号二不能写成分数看文末)
这时候毕达哥拉斯的完美分数世界就被破坏了,他就派人把学生西佰斯丢水里淹死了。
然而要发现根号二不能写成分数的大有人在。所以,原有的数系必须需得到扩充。
同时,又因为人有十个手指,十进制自然就出来了。在十进制下,通过逼近法(就是你不断拿两个相同的有限小数相乘来逼近2)可以暴力算出根号二的近似值是1.4142…于是根号二理所当然地被放在了数轴里。
这时候,我们会直观地感觉到,分数/整数这类数,和根号二这类非分数/整数的数可统称为实数,前者叫有理数,后者叫无理数。
并且可以发现,任意实数都可用十进制小数表示,因为有理数总能写为有限小数或无限循环小数,无理数总能写为无限不循环小数(读者自证不难)。
但若要严格证明“无理数总能写成无限不循环小数”的逆命题,非常麻烦,需要整个儿重新严格定义实数,就是引入戴徳金的划分思想,利用集合论把实数定义为“有理数的划分”,然后再证明无限不循环小数都是无理数。
结论:题主这样写出来的小数不属于实数,所以既不是有理数,也不是无理数!
总之,捣鼓来捣鼓去,小数能和实数互相对应的只有有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。
题主关心的形如0.9999…8的数,就是和龙一样的四不像,不存在的。如果题主哪天发现哪个运算中真有0.9999…8这样的数,必然会成为冲垮当代数学大厦的泥石流吧!