三角形重心「三角形的重心定理」

三角形的重心是指三角形三边中线的交点。三角形重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等;重心到三角形3个顶点距离的平方和最小;重心到顶点的距...
从2022年上海中考数学压轴题的解法看三角形重心定理的运用

三角形三条中线相交于一点,该点叫做三角形的重心.三角形的重心具有两个重要的性质:

第一,重心分每条中线的比为2:1(到顶点距离等于到中点距离的2倍);

第二,两条中线的交点就是三角形的重心,经过第三个顶点和重心的直线平分第三边.

2022年上海中考数学压轴题:

从2022年上海中考数学压轴题的解法看三角形重心定理的运用

如图,在平行四边形ABCD中,P是线段BC的中点,连接BD交AP与点E,连接CE.

(1)如果AE=CE,

I:求证:平行四边形ABCD是菱形;

Ii:若AB=5,CE=3,求线段BD的长;

(2)分别以点A,B为圆心,AE,BE为半径作圆,两圆交于点E,F,点F恰好落在射线CE上,如果CE=√2AE,求AB/BC的值.

解析:(1)i:如图,连接AC交BD于O.欲证平行四边形ABCD是菱形,只需证明AC⊥BD即可.

从2022年上海中考数学压轴题的解法看三角形重心定理的运用

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AO=CO,

在△ACE中,

因为AE=CE,

所以EO⊥AC,

即AC⊥BD,

所以平行四边形ABCD是菱形;

ii:关注Rt△ABO和Rt△AEO.

因为AP,BO都是△ABC的中线,

所以点E是△ABC的重心,

所以BE=2EO,设EO=x,则BE=2x,

所以BO=3x,

则由勾股定理,得:

AB^2-BO^2=AO^2=AE^2-EO^2,

因为AB=5,AE=CE=3,

所以25-9x^2=9-x^2,

整理,得:8x^2=16,x^2=2,

所以x=√2,

所以BD=2BO=6x=6√2;

(2)如图,考虑到“同圆半径相等”,连接AF,BF.则

从2022年上海中考数学压轴题的解法看三角形重心定理的运用

AF=AE,BF=BE,

所以AB垂直平分EF,

连接AC交BD于O,

则BO是△ABC的中线,

又AP也是△ABC的中线,

所以点E是△ABC的重心,

所以CE平分AB,

所以AB和EF互相垂直平分,

所以四边形AEBF是菱形,

设CF交AB于G,

则EG=CE/2=√2AE/2,

又∠AGE=90°,

所以AG=EG,

所以AG=FG=BG=EG,

所以四边形AEBF是正方形,

所以AB=√2AE,

在Rt△BEP中,

BE=AE,PE=AE/2,

所以BP=√(AE^2+PE^2)

=√(AE^2+AE^2/4)=√5AE/2,

所以BC=√5AE,

所以AB/BC=√2/√5=√10/5.

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