三角形的特性「三角形重心的性质及特点」

三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时,重心与形心重合。 三角形的重心 1三角形的重心的性质: 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离...

三角形重心是三角形三条中线的交点,是一个非常特殊的点,具有很多特殊的性质。有些涉及重心的问题,直接使用这些性质会事半功倍。下面简要总结一下。

1.三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

△ABC中,AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线,交点为O。则AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1

三角形重心的三个重要性质

证明:

如图,连接EFAD交于G,由三角形中位线定理知,EF∥BC。又因EAC中点,因此GAD中点。

三角形重心的三个重要性质

因为△EOG∽△BOD,且相似比为1:2,因此可计算出:

AG:GO:OD=3:1:2,于是AO:OD=2:1。其他同理。

这个定理在一些给出重心要求计算边长关系的问题中相当有用。

2.三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等

△ABC中,AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线,交点为O。则S△AOB=S△BOC=S△COA

三角形重心的三个重要性质

证明:先证S△AOB=S△BOC,其他同理。

(计算三角形面积基本上要做“高”的辅助线)

因为△AOB=△BOC同底,因此其面积比等于高长比

三角形重心的三个重要性质

AAP⊥BEP,过CCQ⊥BE延长线于Q

EAC中点,AE=CE,由AAS定理易得△AEP≌△CEQ

因此AP=CQ

S△AOB:S△BOC=AP:CQ=1,因此S△AOB=S△BOC

3.三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如图,O△ABC内一点,O到三条边的距离分别为h?、h?、h?

求证:当O△ABC的重心时,h??h??h?取最大值

三角形重心的三个重要性质

证明:设三角形三条边长分别为a、b、c,连接AO、BO、CO

三角形重心的三个重要性质

S△ABC= S△AOB+ S△BOC+ S△COA =1/2(a?h?+b?h?+c?h?)

给定了△ABC,那么S△ABC是定值,三边长a、b、c也是定值。

变化的是O的位置,也就是h?、h?、h?是变量。

若求h??h??h?的最大值,那么最直观的是使用基本不等式。

利用不等式的思想就是:“将变量向定量上凑”。

因为给定的定量是三角形的边长和面积,那么就要凑出

h??h??h?≤X(X是定值)的形式,且一定是朝着

S△ABC=1/2(a?h2+b?h2+c?h3)的方向做变换

积与和之间的基本不等式为:几何平均数≤算数平均数

当有两个变量时,其形式为:

三角形重心的三个重要性质

当有三个变量时,其形式为:

三角形重心的三个重要性质

于是我们可以得到:

三角形重心的三个重要性质

(当且仅当ah?=bh?=ch?时等号成立,等号成立的条件极其重要)

那么,无需继续进行计算,只需要知道当ah?=bh?=ch?时,h??h??h?取最大值即可。

那么此时S△AOB=S△BOC=S△COA,即O是重心。

因此,当O为△ABC重心时,到三边距离之积最大。

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