四边形的性质「任意四边形对角线性质」

[回答] (1)平行四边形对边平行且相等.(2)平行四边形两条对角线互相平分.(菱形和正方形)(3)平行四边形的对角相等,两邻角互补(4)连接任意四边形各边的中点所...

本文将梳理平行四边形的性质,并且围绕平行四边形的性质进行证明,同时解决平行四边形背景下的面积计算。

「转」平行四边形的性质

1、平行四边形的定义:

两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、平行四边形的性质定理:

平行的四边形的对边相等;

平行四边形的对角相等;

平行四边形的对角线互相平分;

平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。

「转」平行四边形的性质

3、平行线的距离:

两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的就距离;

两平行线的距离处处相等;夹在两平行线间的平行线段相等。

「转」平行四边形的性质

1、与角相关的证明与计算:

① 已知,平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )

A、1:2:3:4;B、3:4:4:3;

C、3:3:4:4 ;D、3:4:3:4.

解析:平行四边形的对角相等,邻角互补。因此,角之间的关系是∠A=∠C;∠B=∠D,由此可见,D选项正确。

② 在平行四边形ABCD中,如果AB=8,AD、BC之间的距离为4,求∠A度数。

「转」平行四边形的性质

解析:本题有两种情况,当∠A为锐角时,如图1,此时∠A=30°;当∠A为钝角时,如图2,此时∠B=30°,∠A=150°,综上,∠A=30°或150°。

③ 在平行四边形ABCD的一个锐角向对边作两条高,如果两条高的夹角为135°,求平行四边形各个内角的度数。

解析:本题需要根据题意画出图形,利用几组几组相等的内错角以及同角的余角相等,求出平行四边形各个内角的度数。

「转」平行四边形的性质「转」平行四边形的性质

2、与边相关的证明与计算:

① 已知,如图,在平行四边形ABCD中,AM=DM,

求证:(1) AE=AB;(2)如果BM平分∠ABC,求证:BM⊥CE.

解析:平行四边形+角平分线,往往会出现等腰三角形。本题的第2问可以通过证明▲AEM为等腰三角形,利用三线合一来证明BM⊥CE;也可以利用AB=AE=AM,利用角之间的关系证明BM⊥CE.

「转」平行四边形的性质

② 已知,如图,在平行四边形ABCD中,E为AB中点,DF⊥BC,垂足为F.

求证:∠AED=∠EFB.

解析:本题根据中点性质,既可以利用倍长中线法证明,也可以构造中位线证明。

「转」平行四边形的性质「转」平行四边形的性质

3、与对角线相关的证明与计算:

① 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线交AD,CB的延长线于点E、F。请找出图中所有的全等三角形。

「转」平行四边形的性质

② 在周长为20厘米的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则▲ABE的周长为多少?

解析:利用OE是BD的垂直平分线,得到BE=DE,将▲ABE的周长转化为AB+AD.

补充:若BCAB,则▲BOC与▲AOB的周长差为(BO+OC+BC)-(BO+AO+AB)=BC-AB。

「转」平行四边形的性质「转」平行四边形的性质

4、与底角平分线相关的证明与计算:

「转」平行四边形的性质

在平行四边形中,做一个角的角平分线就会产生等腰三角形;特别地,如果做两个同旁内角的角平分线就会产生垂直

① 平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别分BC成5厘米和3厘米两段,则这个平行四边形的周长为多少?

解析:画图后进行分类讨论,利用平行+角平分线→等腰三角形。这三者之间存在互推的关系(已知2→1)。

「转」平行四边形的性质

① 平行四边形ABCD中,AB=8,∠C=60°,∠A的平分线与∠B的平分线相交于点E,EF⊥AB,求EF的长.

解析:利用同旁内角角平分线互相垂直以及30°角的性质求解。

「转」平行四边形的性质「转」平行四边形的性质

1、基本图形中的面积关系:

「转」平行四边形的性质

2、平行四边形背景下与面积相关的问题:

① 如图,在平行四边形ABCD中,点F在DC延长线上,联结AF交BC于点E,联结BF,DE,求证:S▲ADE=S▲BAF.

解析:要证明▲ADE的面积=▲BAF的面积,从图中可以看出这两个三角形的面积都等于平行四边形面积的一半,所以结论可证。

「转」平行四边形的性质

② 如图1,E为平行四边形ABCD内一点,试探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面积之间的关系;如图2,E在平行四边形ABCD边CD所在直线上方,试探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面积之间的关系.

「转」平行四边形的性质

解析:借由前面的解题思路,通过过点E作垂线,计算四个三角形的面积,用平行四边形的边长表示相应的面积。

「转」平行四边形的性质「转」平行四边形的性质

③如图,设P为四边形ABCD内一点,过点P分别作AB,AD的平行线交平行四边形的四边于E,F,G,H四点,若四边形AHPE的面积为3,若四边形PFCG的面积为5,求▲PBD的面积为多少?

解析:利用面积的和差以及相等的三角形面积进行计算。

「转」平行四边形的性质



 

本文来自网络,不代表本站立场,转载请注明出处: http://www.fxqlsy.cn/news/61889.html
返回顶部