均值不等式「四个常用均值不等式」

初学均值不等式对于什么题型用哪个不等式去证明会比较乱,而且由二维的均值不等式衍生出一些常用的结论公式,在特殊小题和证明题里会很有用,本篇介绍了...

t【导读】

t中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系解题技巧:一元二次函数求最值——均值不等式。

事业单位数量关系:一元二次函数求最值——均值不等式

t在数量关系中常见的极值问题里,有一类是一元二次函数求最值,相信大家都是能够根据题意列出式子,难点就在于解这个式子,常规的就是采用高中所学的求根公式来进行解答,这个过程就会显得慢而且计算量偏大,所以今天来给大家介绍运用均值不等式来进行求解。

t一、 什么是极值问题

t极值问题顾名思义,就是求极大值和极小值的问题,就是当题干或者问法中出现最大或最小,最多或最少,至多或至少等字眼时,那就是极值问题。

t二、 均值不等式

t1. 什么是均值不等式

t定理:若a、b是实数,(a-b)2≥0,则a2+b2 ≥2ab,等号当且仅当a=b的时候取得。

t推论:若a、b均是正实数,

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t2≥0,则a+b ≥2

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t,等号当且仅当a=b的时取得。

t2. 均值不等式的应用

t(1)和一定,求积的最大值

t如:若两个自然数的和为20,求这两个自然数积的最大值。

t根据推论,a+b ≥2

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t,等号当且仅当a=b的时取得,可得ab≤

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t2,ab要取得最大值,仅当a=b的时候取得,所以这两个数分别都是10 时,它们的积取得最大值,且最大值为

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t2=100。

t(2)积一定,求和的最小值

t如:若两个自然数的积为100,求这两个自然数和的最小值。

t根据推论,a+b ≥2

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t,可得a+b≥2

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t=20,ab要取得最大值,所以这两个自然数和的最小值为20。

t三、 经典例题

t【例题1】 某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫,每套成本是144元,售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫,并提出:如果每套座垫的售价每降低2元,就多订购6套。按经销商的要求,该加工厂获得最大利润需售出的套数是( )。

tA.144 B.136 C.128 D.142

t【中公解析】A 。根据题目所求为获得最大利润需售出的套数,可知此题属于极值问题。根据题意,可设每套坐垫减价2x元,那么就会多订购6x套,利润为y,得:

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t,化简得:

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t,要求y最大时的x,可以把(56-2x)看成一个整体a,(120+6x)看成一个整体b,就相当于求ab的最大值,根据均值不等式推论可知,当两个数的和一定,这两个数的积最大,所以去找到(56-2x)与(120+6x)的和一定即可,因为x的系数不同,所以要将x的系数化为相同两者之间的和才一定,所以可将(56-2x)提一个2,(120+6x)提一个6出来,让x的系数都为1,所以

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t,根据均值不等式和一定积最大,当且仅当(28-x)=(20+x)取等号,所以28-x=20+x得出x=4,即当坐垫降价8元时,能获得最大利润,所求获得最大利润售出套数为120+6×4=144,选A。

t【例题2】某报刊以每本2元价格发行,可发行10万份,若该报刊单价提高0.2元,发行量减少5000份,则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

tA.24 B.23.5 C.23 D.22.5

t【中公解析】D。题目求报刊的最大销售收入属于极值问题,设报刊单价提高了0.2x,那么发行量为10000-5000x,销售收入为y,根据题意得:y=(2+0.2x)(10000-5000x),化简原式得y=0.2×(10+x)×5000×(20-x)=1000×(10+x)(20-x),根据均值不等式,当且仅当10+x=20-x时取等号,所以x=5,带入式子的y=1000×15×15=225000元=22.5万元,选D。

t【例题3】某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车,每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时,未租出的汽车就会多4辆,租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时,租赁公司的日收益最大?

tA.155元 B.165元 C.175元 D.185元

t【中公解析】D 。题目所求为日租金为多少是,日收益最大,属于极值问题。设日租金增加5x元,那么未租出的汽车多4x辆,日收益为y,根据题意可得:y=(100+5x)(200-4x)-20(200-4x)=(80+5x)(200-4x),化简得y=20(16+x)(50-x),根据均值不等式,当且仅当16+x=50-x时,取等号,所以x=17,既当x=17时,日收益最大,也就是当日租金为100+5×17=185时,日收益最大,选D。

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t四、 小结

t利用均值不等式解极值问题时,首先要判断是否属于极值问题,然后根据题目列式,观察式子是否一元二次函数,若是最后采用均值不等式进行求解x或者进一步求解y,常用到均值不等式的和一定,积最大来进行求解。

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