什么是素数「素数和质数的区别」

作者 大小吴

来源 大小吴的数学课堂

今天大小吴来和大家探讨一个问题：为什么1既不是素数也不是合数？

1 因数的个数

对于这个问题，我们可以参考六年级课本上对于素数的定义：

“

一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（prime number），也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数（composite number）.

也就是说，如果我们以因数个数为标准对正整数进行分类，可以得到如下表格：

可以看出，1的因数只有1本身，所以它既不属于素数的范畴也不属于合数的范畴。这样就把正整数分为了1、素数、合数三类，用这样的方式解释“1既不是素数也不是合数”似乎也说得过去。

2 素因数分解的唯一性

实际上，1既不是素数也不是合数这件事需要用到“素因数分解的唯一性”来说明，也即算术基本定理：

“

任何一个大于1的自然数 ，如果不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，即

这里均为质数，其诸指数是正整数.
 

这个定理从本质上讲指的是在对合数进行素因数分解时体现出的以下两种性质：“存在性和唯一性”。存在性指的是一个合数的素因数分解是必然存在的；唯一性指的是这种分解表示是唯一的。举个简单的例子，18是个合数，如果我们对它进行素因数分解，可以得到：

存在性和唯一性都是显然易见的，因为我们不可能把18分解成或是等其他的形式。

3 算术基本定理的证明

然而在数学上，对于一个定理我们不能以“显然成立”这样的话就把对定理的证明搪塞过去了，对于这件事我们一定要严格证明一遍。首先，在证明算术基本定理之前，我们需要用到两个引理：

“

引理1：当和互素时，如果能被整除，那么也能被整除.

证明如下：因为和互素，所以，又因为能被整除，所以为与某个整数的乘积：

由可知，

将代入，可得：

即

因为必然为整数，所以能被整除。

“

引理2：如果和无法被素数整除，那么其乘积也无法被整除.

对于此定理的证明用反证法，且需用到引理1：假设能被整除，因为无法被素数整除，所以，则根据引理1可知，必然能被整除。然而，这与无法被整除的已知条件矛盾。所以，不能被整除。

因此，当都不能被整除时，其乘积也无法被整除。

换句话说，当能被整除时，那么或或或能被整除。（逆否命题）

这样，我们就为证明“分解素因数的方法只有一种”做好了准备工作。

接着，仍然用反证法，假设合数有两种分解方法：

消去相同的部分，可得

假设左边的素数和右边的素数各不相同（倘若有相同的素因数，则在上一步时已经消去了），那么根据引理2，因为能被整除，所以中的某个素数必然能被整除。也就是说必然存在，使得

这与假设是矛盾的，故上述等式不成立。我们逐一约去等式两边相同的素数，最终可以得到：

也就是说，等式两边的素数从一开始就是完全相同的。

这样，我们就证明了算术基本定理。

4 为什么1既不是素数也不是合数

我们来考虑如果把1也纳入到素数中会出现什么情况，以6为例：

这样就使得合数分解素因数的唯一性不成立了，违背了算术基本定理。

因此，1不属于素数，1也显然不是合数，所以1是唯一一个既不是素数也不是合数的正整数。

参考文献[1]上海师范大学.初级中学课本（试用本）-数学（六年级第一学期）[Z].上海教育出版社，2019.[2]（日）远山启.数学女王的邀请——初等数论入门[M].逸宁译.人民邮电出版社，2020.